Développer l'espérance conditionnelle.
$${\Bbb E}[X_{n+1}|{\mathcal F}_n]={\Bbb E}[x+Y_1+\dots+ Y_{n+1}|{\mathcal F}_n]$$

Linéarité de l'Espérance conditionnelle.
$$=x+{\Bbb E}[Y_1|{\mathcal F}_n]+\dots+{\Bbb E}[Y_{n+1}|{\mathcal F}_n]$$

Simplifier par mesurabilité ou indépendance.
$$=x+Y_1+\dots+Y_n+{\Bbb E}[Y_{n+1}]$$

Retomber sur \(X_n\) pour en déduire la condition.

$$=X_n+{\Bbb E}[Y_{n+1}]$$
Donc c'est une martingale si \({\Bbb E}[Y_1]=0\) (iid), surmaringale idem, etc.

Les \(M_n\) sont mesurables par mesurabilité de \(X_n\).S

Pour savoir si elles sont intégrables, passons d'abord par l'espérance conditionnelle \(\to\) développer.

Sortir la somme.

Sortir les indicatrices par mesurabilité.

Enlever le conditionnement par indépendance.
6i:

6i: On a bien le résultat voulu par multiplication par \(m\).

Cela nous donne également le fait que l'espérance est constante, ce qui la rend plus facile à calculer.

Conserver par \(\varphi\) conserve l'intégrabilité et la \({\mathcal F}_n\)-mesurabilité.

On utilise l'Inégalité de Jensen sur l'espérance conditionnelle.

Puisque \((X_n)_{n\in\Bbb N}\) est une martingale, cela nous donne directement le résultat voulu.

On ne va faire la démo que pour les sous-martingales.

On a une borne par hypothèse \(\to\) on peut utiliser l'Inégalité des montées de Doob.

On peut passer à la limite et montrer que le nombre total de montées est en moyenne fini.

On a ce résultat \(\overset{ps}\,\) pour chaque couple de rationnel.

On a donc la limite \(\to\) reste à montrer qu'elle est dans \(L^1\).

On a cela en appliquant le Lemme de Fatou.

La suite des espérances est décroissante, donc \((X_n)_n\) est bornée dans \(L^1\).

On a donc la convergence \(\overset{ps}\,\) vers un élément de \(L^1\) d'après un résultat précédent.

Le Lemme de Fatou nous donne la dernière inégalité.

L'uniforme intégrabilité entraîne la borne dans \(L^1\).

On a donc la convergence presque-sûre (par un résultat précédent, puisque c'est une martingale).

La Convergence presque sûre donne la converge en probabilité, et ceci avec l'Uniforme intégrabilité nous donne la convergence \(L^1\) (c'est une caractérisation).

Cela vient directement du fait que cet ensemble est uniformément intégrable.

On passe à la limite dans l'égalité de la martingale.

Ce temps d'arrêt est presque-sûrement atteint en temps fini.

On va passer par la Fonction génératrice (caractérise les lois discrètes).

On calcule l'espérance conditionnelle.

C'est une équation du second degré, qu'on résout.

On prend la solution positive, ce qui donne une martingale, et donc une martingale bornée en restreignant au temps d'arrêt.

On a une majoration, ce qui montre l'Uniforme intégrabilité (on a la domination).

On conclut en utilisant le Théorème d'arrêt.

On pose \(K\) un majorant des deux t.a..

On peut montrer qu'ils sont \(\in L^1\) en majorant via la somme des valeurs absolues.

On pose la suite des indicatrices d'être entre les deux t.a. \(\to\) c'est une Suite prévisible.

\((H\cdot X)_n\) forme alors une sous-martingale positive, donc l'espérance est \(\geqslant0\).

On conclut puisque la somme est télescopique.

Les caractères \(\in{\mathcal F}_n\) et \(\in L^1\) sont immédiats via les propriétés du maximum.

Enfin l'inégalité de sous-martingales s'obtient rapidement par croissance de l'espérance conditionnelle.

Le processus est bien adapté, et le caractère \(L^1\) se vérifie en majorant \(S_n\) par \(n\).

Reste à vérifier l'égalité de martingale \(\to\) on sort les premiers éléments de la somme par mesurabilité.

On peut calculer ce qu'il reste par indépendance entre \(X_{n+1}\) et \({\mathcal F}_n\) (par caractère iid) \(\to\) le tout se simplifie pour avoir le résultat voulu.

Cela se fait par Inégalité de Jensen sur l'espérance conditionnelle.

Il faut raisonner par analyse-synthèse \(\to\) on peut défininir \(\langle{M}\rangle _n\) comme une différence entre deux termes.